魏寶成，袁一星，郭爽
（哈爾濱工業(yè)大學給水排水系統(tǒng)研究室）

　　摘要：本文介紹了給水管網(wǎng)水力模擬計算的算法，以及提高水力模擬計算軟件計算速度的方法。
　　關鍵詞：給水管網(wǎng)；水力模擬

Optimization of Simulation Algorithm in Water Supply Network
Wei baocheng, Yun yixing, Guo Shuang
(Workgroup of Water & Wastewater System, Harbin Institute of Technology)

　　Abstract: This paper describes the algorithm of water supply net1work simulation and the method to accelerate the calculation of water supply network simulation software.
　　Key words: water supply network; hydraulic simulation

　　在供水綜合管理信息系統(tǒng)中，供水管網(wǎng)的水力模擬計算軟件處在一個非常關鍵的位置，是整個系統(tǒng)的“核心”所在。
　　由于城市規(guī)模的擴大，供水管網(wǎng)的規(guī)模也越來越大，管網(wǎng)計算的運算量也越來越大，以往的計算程序在計算幾十個節(jié)點的管網(wǎng)時還能勝任，而當進行幾百、幾千、甚至上萬個節(jié)點的大規(guī)模管網(wǎng)時，其速度就變得無法令人忍受。另外在現(xiàn)代數(shù)學中，有很多優(yōu)化理論，單從理論本身出發(fā)是可以應用于供水管網(wǎng)的優(yōu)化計算、實時調度方面，但由于管網(wǎng)信息量大，管網(wǎng)模擬計算軟件的速度較慢，進行一次計算，往往需要幾個小時、幾天，這樣的計算結果對指導實踐是沒有實際意義的，因此提高供水管網(wǎng)水力計算的速度是一個重要的課題。

1、理論基礎

　　對給水管網(wǎng)進行水力模擬總是聯(lián)立求解連續(xù)性方程、能量方程和壓降方程。其中解節(jié)點方程是聯(lián)立壓降方程和連續(xù)性方程，是現(xiàn)在多數(shù)水力計算程序采用的算法。
　　所謂連續(xù)性方程，就是對任一節(jié)點來說，流向該節(jié)點的流量必須等于從該節(jié)點流出的流量。

　　　　　Q_i+Σq_ij=0

將管段的壓降方程代入連續(xù)性方程，則任意一個節(jié)點的連續(xù)性方程可寫成：

　　

　　式中指數(shù)α=0.54，Ｍ為節(jié)點數(shù)(不包括已知節(jié)點)，q_i為節(jié)點流量(m³/s)。式中l(wèi)表示管段號，i,j表示管段l的上下游節(jié)點標號，所謂上下游是這樣規(guī)定的，管段l的計算流向（參考流向）是從節(jié)點i流向節(jié)點j的。
　　這是一個非線形方程組，不能直接得到其解析解。解非線形方程組比較困難，方法有多種，比較常用的是牛頓-拉斐森方法。
記E為以E_i為分量的向量，f為以f_i分量的向量，在E的領域內(nèi)可進行泰勒級數(shù)展開：

　　

　　偏導數(shù)構成的矩陣是雅可比(Jacobian)矩陣J

　　

　　可以得到：

　　

　　

　　忽略高階項，并置F(E+δE)=0,將可得到一個關于修正項δE的線性方程組。即

　　　　J·δE=-F

　　其中δE可使每個函數(shù)都同時接近于零。
　　整個這一過程就是非線形方程組的“線形化”過程，可變化成解一個線性方程組，并將求出的修正項加到解向量中：

　　　　E_new=E_old+δE

　　這個過程不斷迭代，直到收斂為止。

2算法的優(yōu)化

2.1系統(tǒng)選用了高效的算法
　　1.牛頓法雖然已經(jīng)不能算是一個新算法，但它在收斂速度上有著無可比擬的優(yōu)勢，并且后面我們提到，可以對它適當改造，來克服它自身的缺點。
　　2.改進平方根法是解線性方程組直接解法中速度最快的一種，由于其很好的利用了連續(xù)性方程雅可比矩陣的性質，使它在求解這一方程時，具有很高的效率，其求解效率幾乎是高斯法的兩倍，并且可以很好的與數(shù)據(jù)壓縮算法共同工作。
　　3.共軛梯度法是是解線性方程組迭代解法中較好的一種，其算法穩(wěn)定收斂快，并且可以進一步節(jié)省內(nèi)存，當管網(wǎng)的規(guī)模超大，直接解法不能運算時，它是一種很好的補充；在一般規(guī)模的管網(wǎng)下，也可結合直接解法，使迭代的速度加快。
2.2牛頓步長因子的改進
　　牛頓法是求解非線形方程組的一個經(jīng)典方法，由于其收斂快，因此直到現(xiàn)在它仍然是一個重要方法，很多新的算法都是對它的改進。但它的問題也是很明顯的，就是當初值選擇不好時，它有可能不收斂。而初值的選擇往往具有隨意性，這樣計算往往是發(fā)散的。
　　為解決這一問題，迭代公式中加入步長因子λ，這樣迭代公式就變成了

　　E_new=E_old+λδE

　　步長因子λ控制迭代收斂的速度也影響著模型是否收斂，本文作者通過對步長因子λ的處理使整個迭代過程即保證收斂而且收斂較快。
2.3數(shù)據(jù)的壓縮存儲
　　供水管網(wǎng)方程的連續(xù)性方程的雅可比矩陣的階數(shù)是很高的。計算數(shù)據(jù)占用的計算機內(nèi)存非常驚人的，如果不對雅克比矩陣進行壓縮，可能將導致計算不能進行。同時該矩陣具有對稱性、正定性、帶狀性、稀疏性的特點，進行矩陣壓縮是可行的。通過對矩陣的壓縮也可使參與計算的數(shù)據(jù)量減小，從而提高計算的速度。作者采用的是一維變代寬存儲壓縮技術。
2.4優(yōu)化帶寬
　　用一維變帶寬算法存儲雅可比矩陣，矩陣的帶寬和節(jié)點的編號有關，管段的起止節(jié)點編號差越大，雅可比矩陣的半帶寬也越大，解方程組的效率也越低，如果帶寬太大而導致三角塊無法存儲，求解也就無法進行。為了提高解方程的效率，在進行節(jié)點編號時，要使節(jié)點差盡量的小。但如果這部分工作用手工完成，將花費大量的精力。所以要采用自動編號來對帶寬進行優(yōu)化。
本文作者采用有限單元理論中的優(yōu)化編號方法，自動進行節(jié)點編號，對帶寬進行優(yōu)化。使數(shù)據(jù)的存儲量變到最小，對提高計算速度起到十分明顯的作用。
2.5管網(wǎng)簡化
　　前面提到供水管網(wǎng)連續(xù)性方程的階數(shù)是很高的，求解這一方程的計算量和階數(shù)的立方成正比，也就是說如果管網(wǎng)中節(jié)點的個數(shù)增加到原來的2倍，其計算量幾乎增加到原來的8倍，因此如何能等效簡化管網(wǎng)是一個非常有意義的課題。
　　1．支狀管網(wǎng)簡化。供水管網(wǎng)中有許多支狀管網(wǎng)，根據(jù)流體力學的計算理論，這些管段完全可以簡化掉，而且并不影響管網(wǎng)模擬計算的精度。
　　2．環(huán)狀管網(wǎng)簡化。環(huán)狀管網(wǎng)簡化比較復雜，會導致一定誤差。在允許誤差范圍內(nèi)簡化環(huán)狀管網(wǎng)是一個很新的課題。國外有些研究單位可以將一個復雜管網(wǎng)簡化到只有幾十個節(jié)點的程度，誤差還不大，這種技術主要應用在優(yōu)化調度領域。
本文作者通過編寫計算機程序實現(xiàn)了對管網(wǎng)數(shù)據(jù)自動進行支狀的簡化。這種簡化不影響計算結果，當管網(wǎng)中支狀管數(shù)量較多時，通過這種處理后，水力模擬計算速度的提高是十分明顯的。
2.6管網(wǎng)數(shù)據(jù)檢查
　　平差計算時，錄入數(shù)據(jù)常常發(fā)生錯誤，如編號錯誤、遺漏節(jié)點管段等，這將直接直接影響導致網(wǎng)絡拓撲結構的變化，當網(wǎng)絡很復雜，查找錯誤將變得很困難，因此編寫了自動檢查錯誤程序。
　　供水管網(wǎng)的拓撲結構是一張圖，用圖論中圖的遍歷算法可發(fā)現(xiàn)圖紙中拓撲結構的錯誤。通常有兩條遍歷圖的路徑，深度優(yōu)先搜索和廣度優(yōu)先搜索。本文作者采用的是深度優(yōu)先搜索算法。
2.7數(shù)據(jù)結構的優(yōu)化
　　進行上訴算法的優(yōu)化必須以較好得數(shù)據(jù)結構為基礎，作者編寫的計算程序中用面向對向的編程方法對數(shù)據(jù)結構實現(xiàn)了動態(tài)描述。通過這種數(shù)據(jù)結構的建立，可實現(xiàn)對數(shù)據(jù)的快速排序和查找，并能保證上訴優(yōu)化算法快速實現(xiàn)。
除此以外，計算程序中添加了計算結果的匯總分析功能，可生成詳盡的結果報告。

3計算結果檢驗

3.1計算結果的正確性檢查
　　為驗證計算結果的正確性，用3個相同的算例，不同的程序對它進行了計算，對計算結果進行了比較，其計算結果符合的非常好。這3個算例，一個是自己設計的(53個節(jié)點，78條管段)；一個是公主嶺的管網(wǎng)(312個節(jié)點，386條管段)；一個是天津市供水管網(wǎng)(3435個節(jié)點，4498條管段)。選用的對比程序有3個，一個是LOOP(世界銀行貸款資助的軟件);一個是WM5(國外知名水力模擬軟件，全名WaterMan ver5.0);另外一個是國內(nèi)的一個優(yōu)秀計算軟件WQR。計算結果之間的差別是很小的，主要是選取有效數(shù)字位數(shù)不同或采用的計算公式不同造成的。

數(shù)據(jù) WQR WM5程序 Loop程序 小例子 0.1% 0.1% 0.4% 公主嶺管網(wǎng) 0.2% 0.2% 0.5% 天津管網(wǎng) 0.4% - -

3.2優(yōu)化編號的作用
　　對于前兩個算例，計算速度很難進行比較，因為計算的時間太短了，但采用共軛梯度法的計算程序，在管網(wǎng)規(guī)模不是很大時，其計算計算速度十分快，原因是方程階數(shù)低造成的管網(wǎng)初值與正確解比較接近，使共軛梯度法的收斂速度得到充分的發(fā)揮。管網(wǎng)規(guī)模擴大時，由于LOOP和WM5都不能求解，所以只能與WQR程序進行對比。計算天津管網(wǎng)，WQR程序需要150秒，而這個程序只需要22秒。速度的提升是明顯的，而且在理論上，管網(wǎng)的規(guī)模越大，其速度比將越大。

項目 優(yōu)化編號前 優(yōu)化編號后 計算時間 122 22

3.3支狀管網(wǎng)簡化
　　支狀管網(wǎng)簡化的效果根據(jù)網(wǎng)絡的拓撲結構的不同而不同。由于數(shù)據(jù)結構的優(yōu)化，進行簡化的過程很短，對于天津這樣大型的管網(wǎng)花費的時間在0.5秒左右。

數(shù)據(jù) 原計算節(jié)點數(shù) 簡化后計算節(jié)點數(shù) 計算速度提高率 小例子 49 49 0 公主嶺管網(wǎng) 290 216 30% 天津管網(wǎng) 3435 2645 18.5%

　　支狀管網(wǎng)的簡化可以進一步縮小總帶寬，以天津管網(wǎng)為例，簡化后其總帶寬由20萬左右縮小為15萬左右，使計算速度進一步提高，由22秒減少到不到18秒。
3.4計算時間對比
　　通過對算法的多方面優(yōu)化，系統(tǒng)計算速度得到明顯的提高，與測試程序相比較其計算速度都有較大的優(yōu)勢。

數(shù)據(jù) 本程序 WQR程序 Loop程序 WM5程序 小例子 0.05 0.77 1.5 0.51 公主嶺管網(wǎng) 0.11 2.12 10 1.44 天津管網(wǎng) 17.93 150.22 - -

　　(以上測試均是在聯(lián)想Pentium 300內(nèi)存64M的筆記本計算機上完成的。)

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作者簡介：
魏寶成 講師 哈爾濱工業(yè)大學市政環(huán)境工程學院
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